Contraste de Hipótesis para el Coeficiente de Correlación Poblacional r

Se formula la Hipótesis nula H_o diciendo que las variables están incorreladas, es decir, no existe relación entre las variables.

El estadístico de contraste es:

Se conocen los Conceptos Estadísticos ....

VARIACIÓN EXPLICADA Y NO EXPLICADA 

La variación total de la variable Y se define como

El tercer sumando del segundo término es cero. Este sumando es cero, independientemente que la regresión sea o no lineal. En efecto:

con lo cual,

La variación no explicada VNE se comporta de una forma aleatoria o no previsible, mientras que la variación explicada VE tiene un patrón bien definido.

OBSERVACIÓN.- La descomposición de la variación total VT :

VT = VNE + VE

puede ser demostrada igualmente para todo tipo de regresión no lineal, empleando la curva de los mínimos cuadrados dada por:

VARIANZA RESIDUAL

Cuando para describir una variable estadística, se utiliza su media, la crítica de la representatividad de ésta viene dada mediante la medida de dispersión que conocemos con el nombre de varianza.

Ahora bien, si para la descripción de la variable utilizamos la línea de regresión, la crítica de la representatividad se efectúa mediante la llamada varianza residual.

La varianza residual de la variable dependiente Y, se define como:

ERROR ESTÁNDAR DE LA REGRESIÓN

El 'error estándar de la regresión' es perfectamente general, es decir, para todo tipo de regresión lineal o no lineal.

Cuando la línea de regresión es un polinomio: y = a + b₁ x + b₂ x² + ... + b_nxⁿ el error estándar de la regresión será:

COEFICIENTE de DETERMINACIÓN

Se entiende por 'coeficiente de determinación' a la razón entre la variación explicada VE y la variación total VT, es decir:

En consecuencia, 0 £ r ² £ 1. Adviértase que r ² es una cantidad sin dimensiones, esto es, no depende de las unidades empleadas.

Este concepto puede extenderse tanto a ecuaciones de regresión lineales como no lineales.

Algunos estadísticos prefieren definir el coeficiente de determinación muestral como r².

Aquí, cuando ha sido conveniente distinguir los estadísticos poblacionales y muestrales, se denotan los estadísticos muestrales mediante un (*).

OBSERVACIÓN

Conviene señalar la relación existente entre la 'varianza residual' y el 'coeficiente de determinación'. Sabemos que,

COEFICIENTE de CORRELACIÓN

Es un número abstracto que determina el grado de ajuste entre una nube de puntos (diagrama de dispersión) y una línea de regresión, se define:

En el caso del coeficiente de correlación lineal, también puede definirse como la media geométrica de los coeficientes de regresión lineal, esto es:

Obsérvese que, en la demostración, se ha considerado: