INTEGRACIÓN de FUNCIONES RACIONALES

Tipos de integrales racionales:

<a>

<b>

Para la resolución de esta integral, se trata de obtener en el numerador la derivada del numerador. Para ello,

<c>

con lo cual: 

resulta: 

Por una parte,  la integral <1º> es inmediata al ser C(x) un polinomio de grado uno en x

Por otro lado, la integral <2º> se obtiene por descomposición en fracciones simples. Para lo cual, se hallan las raíces de Q(x) = 0 y se expresa Q(x) como producto de sus raíces.

Supongamos que Q(x) = 0 tiene las raíces: { x = p con multiplicidad r }, { x = q con multiplicidad s }, las raíces complejas { x = (a ± bi) con multiplicidad n }.

Entonces Q(x) puede expresarse de la forma:

Adviértase que k º coeficiente del término de mayor grado de Q(x). De otra parte, las raíces complejas conjugadas [ x - (a ± bi) ] se pueden sustituir por un polinomio de segundo grado, de la forma siguiente:

El desarrollo en fracciones simples de R(x) / Q(x) es:

Siendo A_i, B_i, C_i, D_i coeficientes a determinar. Para ello, basta multiplicar ambos miembros de la igualdad por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado. O en su defecto, dar a la variable x valores adecuados. 

Obtenido el desarrollo en fracciones simples, se integra éste, dando lugar a una suma de integrales que son de los siguientes tipos:

<1> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 1, elevado a una potencia. Son integrales inmediatas.

<2> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2. Son integrales del tipo <a> ó <b> resueltas anteriormente.

<3> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, elevado a una potencia ( >1 ). Estas integrales se resuelven por reducción. Este tipo de integrales, cuando el exponente es superior a 2, presentan gran dificultad, es aconsejable aplicar el método de "Hermite".

Método de Hermite

Consiste en hacer el siguiente desarrollo:

siendo, k º grado del denominador del corchete menos la unidad

Para calcular los coeficientes 'A, B, C, D, a_i' basta derivar la expresión que está dentro del corchete, multiplicar ambos miembros por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado.