REGRESIÓN PARABÓLICA

Se resuelve un ajuste polinomial para el caso de grados dos. El método empleado es válido en general para un polinomio de grado 'n'.

Sea la parábola: y = a + b x + c x²

El objetivo es estimar los parámetros 'a', 'b' y 'c' a partir de los datos observados, empleando el método de los mínimos cuadrados

La función para minimizar es:

Derivando respecto a los tres parámetros, se obtiene:

Aplicando las propiedades del sumatorio y simplificando se obtienen las 'ecuaciones normales de la parábola de regresión':

Se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, obteniendo los valores de los parámetros 'a', 'b', 'c'. Obteniendo la ecuación de la parábola. 

En el supuesto de que se diera la no multiplicidad de (X, Y) y que cada par se repitiese una sola vez, las 'ecuaciones normales de la parábola de regresión' serían:

REGRESIÓN EXPONENCIAL

En determinados experimentos, en su mayoría biológicos, la dependencia entre las variables X e Y es de forma exponencial, en cuyo caso interesa ajustar a la nube de puntos una función del tipo: y = e^a+bx

Con una transformación de linealidad, tomando logaritmos neperianos, se convierte el problema en una cuestión de regresión lineal. Es decir:

Tomando logaritmos neperiano: Ly = a + bx

Llamando Y = Ly, tendremos Y = a + bx (regresión lineal)

Para simplificar, descartando multiplicidades y suponiendo que cada par se repite una sola vez, las ecuaciones normales serán:

Calculando los parámetros 'a' y 'b', se tiene la ecuación de la función exponencial: y = e^a+bx

REGRESIÓN HIPERBÓLICA

Cuando la dependencia entre las variables X e Y es de forma hiperbólica, interesa ajustar a la nube de puntos una función del tipo: y = a + b/x

La función a minimizar será:

por tanto,

Para minimizar la expresión, hallamos las derivadas parciales respecto a los parámetros 'a' y 'b', igualando a cero:

En consecuencia, las ecuaciones normales serán: