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1999 SELECTIVIDAD
Optativas MATEMÁTICAS II OPCION A |
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1º. Determinar la parábola y = a + bx + cx2 que pasa por los puntos (-2, 4), (2,6), (4, 19) Solución: |
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Resolvemos el sistema: |
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4 = a - 2b + 4c 6 = a + 2b + 4c 19 = a + 4b + 16c |
2ª - 1ª º 3ª - 2ª º |
2 = 4b 13 = 2b + 12c |
º |
b = 1/2 , c = 1, a = 1 |
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y = 1 + 1/2 x + x 2 |
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2º. Determinar el punto de la gráfica y = - x3 + 6x2 - 7x + 5 en que la pendiente de la tangente es máxima. Solución: |
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Hay que encontrar "x" tal que f´(x) es máximo. |
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f´(x) = - 3x2 + 12x - 7 è f´´(x) = 0 é 0 = f´´(x) = - 6x + 12 é x = 2 . Como f´´´(x) = - 6 es máximo. |
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3º. Una fábrica produce mesas y sillas. Cada mesa da un beneficio de 1000 pesetas y cada silla de 400 pesetas. Cada mesa requiere 3 kilos de madera y cada silla 1 kilo. La fábrica dispone de 21 toneladas de madera por semana. Sabiendo que por cada cuatro sillas se debe fabricar al menos una mesa, determinar la producción semanal de mesas y sillas que da lugar al beneficio máximo. Calcular dicho beneficio máximo. Solución: |
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Sean: X = "número de mesas", Y = "número de sillas". La función a maximizar: z = 1000x + 400y |
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r: 3x + y £ 21.000 s: 4x - y ³ 0 x ³ 0 , y ³ 0 |
A: z = 0 B: z = 1000.3000 + 12000.400= 7.800.000 C: z = 1000.7000 + 0.400 = 7.000.000 Sol: B(3000, 120000) |
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4º. La variable x expresa la calificación obtenida en el primer examen parcial de cierta asignatura y la variable y es la nota final de la asignatura. Se dispone de los siguientes datos correspondientes a siete alumnos:
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(a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos. (b) Indicar cuál de las siguientes rectas es la de regresión: y = 1,350 + 0,753x , y = 1,350 - 0,753x (c) Determinar la nota final que se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,7 en el primer examen parcial de la asignatura. Solución: |
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b) La recta de regresión tiene pendiente positiva, por lo cual, la recta solicitada es: y = 1,350 + 0,753x c) y = 1,350 + (0,753). (5,7) = 5,6 |
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5º. Se considera el experimento de lanzar una moneda tres veces. Se pide: (a) Construir el espacio muestral. (b) Suponiendo que la moneda está cargada y que la probabilidad de cara es 0,7 , ¿cuáles son las probabilidades de los sucesos elementales?. (c) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos una cara?. Solución: |
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(a) W = { (c,c,c), (c,c,x), (c,x,c), (x,c,c), (x,x,c) , (x,c,x), (c,x,x), (x,x,x) } (b) P{(c,c,c)} = (0,7)3 ; P{(c,c,x)} = P{(c,x,c)} = P{(x,c,c)} = (0,7)2.(0,3) P{(x,x,x)} = (0,3)3 ; P{(x,x,c)} = P{(x,c,x)} = P{(c,x,x)} = (0,3)2.(0,7)
(c) P(al menos una cara) = 1 - P{(x,x,x)} = 1 - (0,3)3 = 0,973 |