OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA XXXIV Olimpiada Matemática Española Fase Nacional 1998 (Tarazona)

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Primera sesión

1.- Un cuadrado ABCD de centro O y lado 1, gira un ángulo a en torno a O. Hallar el área común a ambos cuadrados.

2.- Hallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.

3.- Se considera el triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si D y E son puntos sobre el lado BC tales que AD y AE son, respectivamente, paralelas a las tangentes en C y en B a la circunferencia circunscrita, demostrar que:

Segunda sesión

4.- Hallar las tangentes de los ángulos de un triángulo sabiendo que son números enteros positivos.

5.- Hallar todas las funciones f: N ® N estrictamente crecientes y tales que:

f(n + f(n)) = 2 f(n) para n = 1, 2, 3, ...

6.- Determina los valores de n para los que es posible construir un cuadrado de n x n ensamblando piezas del tipo:

No se permite el uso de calculadoras. Cada problema se puntúa sobre 7 puntos. El tiempo por sesión es de 4 horas.