OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA XXXV Olimpiada Matemática Española Fase Nacional 1999 (Granada)

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Primera sesión

1.- Las rectas t y t', tangentes a la parábola de ecuación y = x² en los puntos A y B, se cortan en el punto C. La mediana del triángulo ABC correspondiente al vértice C tiene longitud m. Determinar el área del triángulo ABC en función de m.

2.- Probar que existe una sucesión de enteros positivos a₁, a₂,..., a_n, ... tal que a₁² + a₂² +.......+ a_n² es un cuadrado perfecto para todo entero positivo n.

3.- Sobre un tablero en forma de triángulo equilátero como se indica en la figura; se juega un solitario. Sobre cada casilla se coloca una ficha. Cada ficha es blanca por un lado, y negra por el otro. Inicialmente, sólo una ficha, que está situada en un vértice, tiene la cara negra hacia arriba; el resto de las fichas tiene la cara blanca hacia arriba. En cada movimiento se retira sólo una ficha negra del tablero y se da la vuelta a cada una de las fichas que ocupan una casilla vecina. Casillas vecinas son las que están unidas por un segmento.
Después de varios movimientos ¿será posible quitar todas las fichas del tablero?

Segunda sesión

4.- Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición) tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos de cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales?

5.- El baricentro del triángulo es G. Denotamos por las distancias desde G a los lados a, b y c respectivamente. Sea r el radio de la circunferencia inscrita. Probar que

6.- Se divide el plano en un número finito de regiones N mediante tres familias de rectas paralelas. No hay tres rectas que pasen por un mismo punto. ¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias para que N >1999?

 No se permite el uso de calculadoras. Cada problema se puntúa sobre 7 puntos. El tiempo por sesión es de 4 horas.