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38th International Mathematical Olympiad Mar del Plata - Argentina, 1997 |
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Primera sesión |
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1.- En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Estos cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro como en un tablero de ajedrez. Para cualquier par de enteros positivos m y n, considere un triángulo rectángulo tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes m y n, se encuentran sobre los lados de los cuadrados. Sea S1 el área total de la parte negra del triángulo, y sea S2 el área de su parte blanca. Sea f(m, n) = | S1 -S2 |. |
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a) Calcule f(m, n) para todos los enteros positivos m y n que son ambos pares o ambos impares. |
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b) Pruebe que f(m, n) £ max{m ,n} para todos m, n.c) Muestre que no existe constante C tal que f(m, n) < C para todos m, n. |
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2.- El ángulo A es el menor del triángulo ABC. Los puntos B y C dividen al circuncírculo del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco entre B y C que no contiene a A. Las mediatrices de AB y AC cortan a AU en V y W respectivamente. Las líneas BV y CW se encuentran en T. |
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Muestre que AT = TB + TC. |
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3.- Sean x1, x2, ¼,xn números reales que satisfacen las condiciones
Muestre que existe una permutación (y1, y2, ¼ , yn) de (x1, x2,¼,xn) tal que
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Segunda sesión |
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4.- Una matriz de (n×n) cuyas entradas pertenecen al conjunto |
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S = {1, 2, ¼ ,2n-1} es llamada una matriz de plata si, para cada (i = 1, 2, ¼ ,n) la i-ésima columna y la i-ésima fila contienen juntas a todo el conjunto S. |
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b) Las matrices de plata existen para un número infinito de valores de n. |
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5.- Encuentre todos los pares (a, b) de enteros a, b ³ 1 que satisfagan la ecuación |
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6.- Para cada entero positivo n, sea f(n) el número de maneras de representarlo como suma de potencias de 2 con exponentes no negativos. Representaciones que difieren solo en el orden son consideradas la misma. |
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Pruebe que, para cualquier entero n ³ 3, |
