41st International Mathematical Olympiad Corea del Sur, 2000

Primera sesión

1.- Sean G₁ y G₂ dos círculos que se intersectan en M y N. Sea AB la tangente común (del lado de M), donde A está en G₁ y B en G₂. Trácese una paralela a AB que pase por M , sea C el punto donde corta a G₁ , y sea D el punto donde corta a G₂. NA y NB cortan a CD en P y Q respectivamente. Finalmente, sea E la intersección de CA y BD. Pruebe que EP = EQ.

3.- Sea t un número real positivo. Hay n pulgas (n ³ 2) en una línea recta, no todas en el mismo punto. Una movida significa: " Una pulga A puede brincar sobre una pulga B a su derecha para alcanzar el punto C, donde BC/CA = t ''. Encuentre todas las 't ' tales que todas las pulgas pueden conseguir moverse a la derecha del punto M, sin importar qué tan lejos se encuentre M.

Segunda sesión

4.- Se tienen 100 cartas numeradas del 1 al 100, una caja roja, una caja azul y una blanca. Encuentre el número de maneras de colocar las cartas en las cajas de manera que no existan (a, b ) en cajas diferentes, y (c, d ) en cajas diferentes (siendo este par de cajas distinto al primero), siendo a + b = c + d.

5.- ¿Existirá un entero positivo con exactamente 2000 divisores primos distintos, y tal que n | 2ⁿ + 1 ?

6.- El incírculo de ABC toca a AB, BC y CA en D, E, y F respectivamente. Los pies de las alturas son P, Q, R (en el mismo orden). Sea l₁ la reflexión de QR en EF. Defina l₂ y l₃ de manera similar. Pruebe que l₁, l₂ y l₃ forman un triángulo cuyos vértices están sobre el incírculo de ABC.