1.- Un cuadrado ABCD de centro O y lado 1, gira un ángulo a en torno a O. Hallar el área común a ambos cuadrados.

2.- Hallar todos los números naturales de 4 cifras, escritos en base 10, que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.

3.- Se considera el triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si D y E son puntos sobre el lado BC tales que AD y AE son, respectivamente, paralelas a las tangentes en C y en B a la circunferencia circunscrita, demostrar que:

SEGUNDA SESIÓN

4.- Hallar las tangentes de los ángulos de un triángulo sabiendo que son números enteros positivos.

5.- Hallar todas las funciones f: N ® N estrictamente crecientes y tales que:

f[n + f(n)] = 2 f(n)   para n = 1, 2, 3, ...

6.- Determina los valores de n para los que es posible construir un cuadrado de n x n ensamblando piezas del tipo:

OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA XXXV Olimpiada Matemática Española Fase Nacional 1999 (Granada)

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PRIMERA SESIÓN

1.- Las rectas t y t', tangentes a la parábola de ecuación y = x² en los puntos A y B, se cortan en el punto C. La mediana del triángulo ABC correspondiente al vértice C tiene longitud m. Determinar el área del triángulo ABC en función de m.

2.- Probar que existe una sucesión de enteros positivos a₁, a₂,..., a_n, ... tal que a₁² + a₂² +.......+ a_n² es un cuadrado perfecto para todo entero positivo n.

3.- Sobre un tablero en forma de triángulo equilátero como se indica en la figura; se juega un solitario. Sobre cada casilla se coloca una ficha. Cada ficha es blanca por un lado, y negra por el otro. Inicialmente, sólo una ficha, que está situada en un vértice, tiene la cara negra hacia arriba; el resto de las fichas tiene la cara blanca hacia arriba. En cada movimiento se retira sólo una ficha negra del tablero y se da la vuelta a cada una de las fichas que ocupan una casilla vecina. Casillas vecinas son las que están unidas por un segmento.
Después de varios movimientos ¿será posible quitar todas las fichas del tablero?

SEGUNDA SESIÓN

4.- Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición) tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos de cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales?

6.- Se divide el plano en un número finito de regiones N mediante tres familias de rectas paralelas. No hay tres rectas que pasen por un mismo punto. ¿Cuál es el mínimo número de rectas necesarias para que N >1999?

OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA XXXVI Olimpiada Matemática Española Fase Nacional 2000 (Palma de Mallorca)

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PRIMERA SESIÓN

1.- Sean los polinomios:    P(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1    Q(x) = x⁴ + cx³ + bx² + ax + 1

2.- La figura muestra un plano con calles que delimitan 12 manzanas cuadradas.

Una persona P va desde A hasta B y otra Q desde B hasta A. Ambas parten a la vez siguiendo caminos de longitud mínima con la misma velocidad constante. En cada punto con dos posibles direcciones a tomar, ambas tienen la misma probabilidad. Halla la probabilidad de que se crucen.

3.- Dos circunferencias secantes C₁ y C₂ de radios r₁ y r₂ se cortan en los puntos A y B. Por B se traza una recta variable que corta de nuevo a C₁ y C₂ en dos puntos que llamaremos P_r y Q_r respectivamente.
Demuestra la siguiente propiedad: Existe un punto M, que depende sólo de C₁ y C₂, tal que la mediatriz del segmento P_rQ_r pasa por M.

SEGUNDA SESIÓN

4.- Encuentra el mayor número entero N que cumpla las siguientes condiciones:

a)

tiene sus tres cifras iguales.

b)

es suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir, existe un natural n tal que

Nota: E[x] es la parte entera de x.

5.- Tomemos cuatro puntos situados en el interior o el borde de un cuadrado de lado 1. Demuestra que al menos dos de ellos están a distancia menor o igual que 1.

6.- Demuestra que no existe ninguna función f: N ---> N que cumpla: f(f(n)) = n + 1.