40st International Mathematical Olympiad Bucarest - Rumania, 1999

Primera sesión

1.- Determine todos los conjuntos finitos S de al menos 3 puntos en el plano que satisfacen la condición de que para cualesquiera dos puntos A, B en S, la mediatriz del segmento AB es un eje de simetría de S.

se cumple para cualesquiera números reales x₁, x₂, ¼, x_n ³ 0.

b) Para esta constante C, determine cuándo se da la igualdad.

3.- Considere un cuadrado de n×n, donde n es un entero positivo fijo. El tablero se divide en n² cuadrados unitarios. Decimos que dos de estos cuadrados son adyacentes, si poseen un lado común.

Se marcan N cuadrados unitarios en el tablero de manera que cada cuadrado (marcado o no) tenga al menos un cuadrado marcado. Determine el menor valor posible de N.

Segunda sesión

4.- Determine todos los pares (n, p) de enteros positivos tales que p es un primo, n £ 2^p y (p-1)ⁿ+1 es divisible por n ^p-1.

5.- Dos círculos G₁ y G₂ están contenidos dentro del círculo G, y son tangentes en los puntos distintos M y N respectivamente. G₁ pasa por el centro de G₂. La línea que pasa por los puntos de intersección de G₁ y G₂ corta a G en A y B. Las líneas MA y MB cortan a G₁ en C y D respectivamente. Pruebe que CD es tangente a G₂.

para cualesquiera x, y.