39th International Mathematical Olympiad Taipei - Taiwan, 1998

Primera sesión

1.- En el cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales AC y BD son perpendiculares, y los lados opuestos AB y CD no son paralelos. Suponga que el punto P, donde se cortan las mediatrices de AB y CD, está dentro de ABCD. Pruebe que ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si los triángulos ABP y CDP tienen la misma área.

2.- En una competencia, hay 'a' participantes y 'b' jueces, donde b ³ 3 es un entero impar. Cada juez califica a los participantes con 'aprobado' o 'reprobado'. Suponga que k es un número tal que, para cualesquiera dos jueces, sus calificaciones coinciden en a lo más k participantes. Pruebe que k/a ³ (b-1)/(2b).

3.- Para cada entero positivo n, sea d(n) el número de divisores positivos de n (incluyendo al 1 y a n mismo). Determine todos los enteros positivos k tales que d(n²)/d(n) = k, para algún n.

Segunda sesión

4.- Determine todos los pares de enteros positivos (a, b) tales que (ab² + b + 7) divide a (a²b + a + b).

5.- Sea I el incentro del triángulo ABC. Sean K, L y M los puntos de corte del incírculo de ABC con BC, CA y AB respectivamente. La línea que pasa por B y es paralela a MK corta a las líneas LM y LK en R y S respectivamente. Pruebe que el ángulo RIS es agudo.

6.- Considere todas las funciones f del conjunto N de los enteros positivos en sí mismo que satisfacen para cualesquiera t, s en N. Determine el menor valor posible de f(1998).